Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов. В основании пирамиды треугольник со сторонами равными корень из 3 см, 2 см, 3 см. Найти объём пирамиды

Равный наклон рёбер = вершина пирамиды лежит над центром описанной окружности

- - - 1 - - -

Площадь по формуле Герона

полупериметр

p = (√3 + 2 + 3) / 2 = (√3 + 5) / 2 см

Площадь

S² = p * (p-a) * (p-b) * (p-c)

S² = (√3 + 5) / 2 * ((√3 + 5) / 2-√3) * ((√3 + 5) / 2-2) * ((√3 + 5) / 2-3)

S² = 1/2⁴ * (√3 + 5) * (5 - √3) * (√3 + 1) * (√3 - 1)

S² = 1/2⁴ * (5² - (√3) ²) * ((√3) ² - 1²)

S² = 1/2⁴ * (25 - 3) * (3 - 1)

S² = 1/2⁴*22*2

S² = 1/2²*11 = 11/4

S = √11/2 см²

- - - 2 - - -

Радиус описанной окружности

R = abc / (4S)

R = √3*2*3 / (4√11/2) = 3√ (3/11) см

- - - 3 - - -

Гипотенуза с - ребро, высота h - катет против угла в 30°, радиус описанной окружности - второй катет

Теорема Пифагора

c² = h² + R²

Гипотенуза в 2 раза длиннее катета против угла в 30°

(2h²) = h² + R²

3h² = R²

h = R/√3

h = 3√ (3/11) / √3 = 3/√11 см

- - - 4 - - -

Объём

V = 1/3*S*h

V = 1/3 * √11/2 * 3/√11 = 1/2 см³