Найдите углы треугольника ABC, если A (-1; √3), B (1; - √3), C (1/2; √3).

Длины сторон треугольника

AB = √ ((-1-1) ² + (√3+√3) ²) = √ (2² + (2√3) ²) = √ (4 + 4*3) = √16 = 4

AC = √ ((-1-1/2) ² + (√3-√3) ²) = √ ((3/2) ²) = 3/2

BC = √ ((1-1/2) ² + (-√3-√3) ²) = √ ((1/2) ² + (2√3) ²) = √ (1/4 + 4*3) = √ (1/4 + 12) = √ (49/4) = 7/2

Углы треугольника 4, 3/2, 7/2 точно такие же, как у подобного ему треугольника со сторонами 8, 3, 7. только считать будет проще

Теорема косинусов для малой стороны

3² = 8² + 7² - 2*7*8*cos (α)

2*7*8*cos (α) = 8² + 7² - 3²

cos (α) = (8² + 7² - 3²) / (2*7*8) = (64 + 49 - 9) / 112 = 104/112 = 26/28 = 13/14

α = arccos (13/14)

Теорема косинусов для средней стороны

cos (β) = (8² + 3² - 7²) / (2*3*8) = (64 + 9 - 49) / 48 = 24/48 = 1/2

β = arccos (1/2) = 60°

третий угол можно найти из условия равенства суммы углов 180°.

Но можно и по теореме косинусов

cos (γ) = (3² + 7² - 8²) / (2*7*3) = (9 + 49 - 64) / 42 = - 6/42 = - 1/7

γ = arccos (-1/7)