Дана правильная четырёхугольная пирамида. Найти площадь сечения, проходящего через ребро основания и середину высоты противоположной грани, если сторона основания равна 8 см и высота равна 8 см.

В сечении получается равнобокая трапеция.

Вершины верхнего основания этой трапеции лежат на серединах боковых рёбер.

Находим длину бокового ребра L.

L = √ (H² + (d/2) ²) = √ (8² + (4√2) ²) = √ (64 + 32) = √96 = 4√6 см.

Находим длину боковой стороны трапеции "в".

Для этого находим косинус угла при основании боковой грани.

cos A = (a/2) / L = 4 / (4√6) = 1/√6 = √6/6.

Тогда в = √64 + 24 - 2*8*2√6 * (√6/6)) = √56 = 2√14 см.

Теперь можно определить высоту трапеции h.

h = √ (в² - ((8 - 4) / 2) ²) = √ (56 - 4) = √52 = 2 √13 см.

Получаем ответ: S = h*lср = 2√13*6 = 12√13 см².