Центры двух касающихся окружностей совпадают с серединами боковых сторон прямоугольной трапеции. Диаметр каждой окружности равен той стороне, на которой расположен ее центр. Найти острый угол трапеции, если известно, что отношение длин оснований трапеции равно пяти.

Точка касания двух окружностей лежит на линии их центров. Поскольку центрами являются середины боковых сторон, линией центров является средняя линия трапеции и она равна сумме радиусов или полусумме боковых сторон. А так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, сумма боковых сторон равна сумме оснований.

BC=x, AD=5x

AB+CD=AD+BC=6x

CH - высота, CH=AB

HD=AD-BC=4x

CH+CD=6x CH=6x-CD

CH^2 + HD^2 = CD^2

(6x-CD) ^2 + (4x) ^2 = CD^2

36x^2 - 12xCD + CD^2 + 16x^2 = CD^2

CD = 52/12 * x = 13/3 * x

cos (D) = HD/CD = 4*3/13 = 12/13

∠D = arccos (12/13) = 22,62°