Два конуса имеют высоты 5 и 9 и общее основание радиуса 12, а их вершины лежат по разные стороны от плоскости основания. В поверхность, составленную из боковых поверхностей этих конусов, вписан шар. Найти радиус другого шара, который касается как боковой поверхности первого конуса (причём по целой окружности) так и первого шара

Рассмотрим осевое сечение конусов

АИ = ГИ = 12

БИ = 9

ДИ = 5

С - центр большого вписанного шара

1.

По т. Пифагора для ΔАИД

АД² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

АД = 13

2.

По т. Пифагора для ΔАИБ

АБ² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225

АБ = 15

3.

Рассмотрим ΔАБД

БД = 9+5 = 14

Три стороны 13, 14, 15

полупериметр

p = 1/2 (13+14+15) = 21

Его площадь по формуле Герона

S² = p (p-a) (p-b) (p-c)

S² = 21 (21-13) (21-14) (21-15) = 21*8*7*6 = 7056

S = 84

4.

ΔАБД состоит из двух треугольников - ΔАБС и ΔАДС

S (АБД) = S (АБС) + S (АДС)

84 = 1/2*АБ*ЛС + 1/2*АД*ЕС

ЛС = ЕС = r - радиус большого шара

168 = 15r + 13r

168 = 28r

r = 6

5.

Рассмотрим ΔАСД

S (АСД) = 1/2*АД*СЕ = 1/2*АИ*СД

13*6 = 12*СД

СД = 13/2

СИ = СД - ДИ = 13/2 - 5 = 3/2

БЦ = БИ - ЦС - СИ = 9 - 6 - 3/2 = 3/2

6.

УФ - касательная одновременно к большому и малому шарам

ΔАБГ ~ ΔУБФ, поскольку ∠Б общий, и ∠А = ∠У, ∠Г = ∠Ф

Коэффициент подобия

k = БИ/БЦ = 9 / (3/2) = 6

УФ = АГ/k = 24/6 = 4

УБ = БФ = АБ/k = 15/6 = 5/2

7.

S (УБФ) = 1/2*УФ*БЦ = 1/2*4*3/2 = 3

полупериметр ΔУБФ = 1/2 * (4 + 5/2 + 5/2) = 9/2

радиус вписанной окружности ΔУБФ

S = rp

3 = r*9/2

r = 2/3

И это ответ