Длина двух сторон остроугольного треугольника равны см и см. Найдите длину третьей стороны, если она равна проведенной к ней высоты.

Пусть высота будет h, часть третьей стороны от угла до основания высоты будет х, вторая часть третьей стороны от основания высоты до второго угла при основании тр-ка будет y.

Тогда h = x+y. По пифагору из двух прямоугольных тр-ков имеем: h² + x² = 13, h²+y² = 10. имеем систему из трех уравнений. попробуем ее решить. x² + (x+y) ² = 13; y² + (x+y) ² = 10 или 2x²+2xy+y² = 13; x²+2xy+2y² = 10. Разделим одно уравнение на другое и получим: 20x²+20xy+10y² = 13x²+26xy+26y²; приводим подобные и имеем 7x²-6xy-16y² = 0. Решаем квадратное уравнение. Причем вспомним (для меня это было самое трудное), что если коэффмцмент b = 2k, то можно применять формулу: x = (-k± √ (k²-ac)) / a. В нашем случае

х = (3y ± √ (9y²-112y²)) : 7 = (3y ± 11y) : 7 = 2y.

Итак, х = 2y, подставим в h = x+y и получим h = 3y. Подставим h в

h²+y² = 10 и получим 10y² = 10. Значит у = 1.

тогда третья сторона равна h = 2+1 = 3.