Дано: треугольник ABC - вписанный в окружность с ц. O. AB:AC=5:3, угол BAC=60 градуса. Найти: угол BOC и угол ABC.

Угол ВОС - центральный угол, который соответствует вписанному углу ВАС, Угол ВОС=2·ВАС=2·60⁰=120⁰.

Пусть х - коэф. пропорциональности. Тогда AB=5 х, AC = 3 х,

по т. косинусов найдем третью сторону треугольника АВС:

ВС²=АВ₂+АС²-2 А·ВА·сcos 60⁰ = 25 х²+9 х²-2·5 х·3 х·½=19 х²

ВС=√19·х

По т. синусов найдем угол АВС треугольника АВС:

АС/sin (АВС) = ВС/sin (ВАС) ⇒ sin (АВС) = АС·sin (ВАС) / ВС=3 х·√3 / (2·√19·х) = 3√3 / (2√19)

Угол ВАС=arcsin (3√3) / (2√19)

Надеюсь, что правильно.