Две окружности внешне касаются друг друга в точке A. Общая внешняя касательная касается первой окружности в точке B, второй окружности в точке C. Прямая BA пересекает вторую окружность в точке D, при этом AB=5, AD=4. Найти:

а) Длину AC

б) радиус окружностей

Легко можно показать, что ∠BAC = 90°. Соединяем точка D с вершиной C треугольника ABC. ∠CAD = ∠90° ⇒CD диаметр окружности описанной около треугольника CAD. DC⊥BC (BC касательная; радиус ⊥ касательной в точке касания). В треугольнике BCD BC и CD катеты,

BD-гипотенуза, CA высота опущенная на гипотенузе.

Известно AC² = AB*AD ⇒AC = √ (5*4) = 2√5.

Из ΔCAD по теореме Пифагора: CD = √ (AC² + AD²) = √ (20 + 25) = 3√5.

CD = 2R₂⇒ R₂ = CD/2 = 3√5 / 2.

Аналогично продолжая CD до точки E пересечения с первой окружности можно определить радиус первой окружности _R₁.

---

Или BC = 2√R₁*R₂.⇔BC² = 4*R₁*R₂.⇔BA²+AC² = 4*R₁*R₂⇔

4²+20 = 4R₁*3√5 / 2⇒R₁ = 6/√5 = 6√5 / 5.