В шар с радиусом R вписан конус наибольшего объёма. Найдите высоту конуса.

Выразим параметры вписанного конуса через его переменную высоту H и заданный радиус шара R (константа).

Vконуса = (1/3) SoH.

Радиус ro основания конуса равен:

ro² = R² - (H - R) ².

So = πro² = π * (R² - (H - R) ²).

Получаем формулу объёма:

V = (1/3) * π * (R² - (H - R) ²) * H.

Для нахождения экстремума находим производную объёма по Н и приравниваем нулю.

V' (H) = (1/3) πH * (4R - 3H) = 0.

Нулю может быть равно только выражение в скобках.

4R - 3H = 0.

Отсюда получаем ответ: высота конуса при максимальном объёме равна H = (4/3) R.