Точки А1, В1, С1 - основания высот треугольника АВС, углы треугольника А1 В1 С1 равны 20 градусов, 70 градусов, 90 градусов. Найдите углы треугольника АВС.

В этой задаче надо знать, что в ортотреугольнике (так называется треугольник A1B1C1) высоты AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC являются биссектрисами.

Если это известно, то решение занимает пару строчек.

H - точка пересечения высот.

В четырехугольнике AC1HB1 два угла прямые, поэтому ∠CAB = 180° - ∠B1HC1; но ∠B1HC1 = 180° - (∠HC1B1 + ∠ HB1C1);

поэтому ∠CAB = ∠HC1B1 + ∠HB1C1 = (∠A1C1B1 + ∠A1B1C1) / 2

точно так же ∠CBA = ∠HA1C1 + ∠HC1A1 = (∠B1A1C1 + ∠B1C1A1) / 2

∠BCA = ∠HA1B1 + ∠HB1A1 = (∠C1A1B1 + ∠C1B1A1) / 2

то есть углы треугольника ABC будут такие

(20° + 90°) / 2 = 55°; (20° + 70°) / 2 = 45°; (70° + 90°) / 2 = 80°;

Теперь я приведу одно из нескольких известных мне доказательств свойства ортотреугольника. Это гораздо интереснее и полезнее, чем эта задачка.

Если построить окружность на стороне AC, как на диаметре, то она пройдет через точки A1 и C1 (из за прямых углов). Это означает, что ∠CC1A1 = ∠CAA1; как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу CA1;

Точно так же, если построить окружность на стороне BC, как на диаметре, то она пройдет через точки B1 и C1, и ∠CC1B1 = ∠CBA1; как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу CB1;

Но ∠A1AC = ∠B1BC = 90° - ∠ACB; следовательно ∠A1C1C = ∠B1C1C,

ЧТД = > СС1 является биссектрисой ∠B1C1A1;

Само собой, и про остальные высоты все доказывается точно так же.