Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности описанный около триугольника АВС

Если из точки B провести перпендикуляр к AB (или из точки С - перпендикуляр к AC) то он пересечет линию центров в точке E, и AE - диаметр D описанной вокруг ABC окружности.

Легко видеть AB = D*cos (α/2); α = ∠CAB;

Площадь S = AB^2*sin (α) / 2;

S = r * (AB + BK) = r*AB * (1 + sin (α/2)); r = 39 - радиус вписанной в ABC окружности. Аналогично S = ρ * (AB - BK) = ρ*AB * (1 - sin (α/2)); ρ = 42 - радиус вневписанной окружности.

Отсюда sin (α/2) = (ρ - r) / (ρ + r);

Если кому-то неизвестна связь между площадью и радиусом вневписанной окружности (то есть окружности, которая касается стороны a и продолжений двух других сторон) S = ρ (p - a); то это выражение sin (α/2) = (ρ - r) / (ρ + r); легко увидеть непосредственно - если провести радиусы в точки касания, и из центра меньшей окружности провести прямую параллельно AB. Там получится прямоугольный треугольник с катетом ρ - r гипотенузой ρ + r и острым углом α/2;

Получилось AB^2*sin (α) / 2 = r*AB * (1 + sin (α/2));

D*cos (α/2) * sin (α) / 2 = r * (1 + sin (α/2));

D * (cos (α/2)) ^2 = r * (sin (α/2) + 1) / sin (α/2);

D * (1 - (sin (α/2)) ^2) = r * (sin (α/2) + 1) / sin (α/2);

D * (1 - sin (α/2)) = r*/sin (α/2); или

D * (1 - (ρ - r) / (ρ + r)) = r * (ρ + r) / (ρ - r);

2*D = 4*R = (ρ + r) ^2 / (ρ - r);

R = (42 + 39) ^2 / (4*3) = 2523/4 = 630,75;