Даны равносторонние треугольники ABC и A1B1C1. O и O1 - соответственно точки пересечения медиан этих треугольников, OA=O1A1. Докажите, что треугольники ABC=A1B1C1.

пусть АН высота (медиана, биссектриса)

тогда АО=2/3 АН (медианы пунктом пересечения делятся в соотношении 2/1 от вершины)

аналогично А1 О1=2/3 А1 Н1 = > AH=A1H1

СН=1/2 АС (напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы)

пусть АС равно х, СН равно х/2

по теореме Пифогора из треугольника АСН 3 х^2/2=AH^2 = > x=AH * (корень из 6) / 2

С1 Н1=1/2 А1 С1 (напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы)

пусть А1 С1 равно у, С1 Н1 равно у/2

по теореме Пифогора из треугольника А1 С1 Н1 3 у^2/2=A1H1^2 = > у=A1H1 * (корень из 6) / 2

получаем х=у

по трем сторонам треугольники равны