Как доказать, что когда углы при одной из основ трапеции равны, то она является равнобочной?

Все очень просто, с помощью равенства треугольников, для этого достаточно продлить меньшую сторону трапеции опустить высоты на эти стороны, найти равные углы при параллельных прямых, и записать равенство, исходя из него получим равные треугольники. а если они равны друг другу, значит и стороны у них равны.