Высота правильной треугольной пирамиды равна h, угол между ребром и плоскостью основания равен 45 градусам. Найти площадь поверхности пирамиды.

Проекция ребра на плоскость основания - это радиус окружности, описанной вокруг основания. Поскольку угол между этой проекцией и ребром 45 град, то

R = h, а сторона основания а = h√3

высота треугольника-основания равна hтр = h√3 · 0.5√3 = 3h/2

площадь основания Sосн = 0,5 · h√3 · 3h/2 = h² · 3/4 · √3

апофема А = √ (h²/4 + h²) = h/2 · √5

площадь боковой грани Sгр = 0,5 · h√3 · h/2 · √5 = h²· 1/4 · √15

площадь боковой поверхности Sбок = 3Sгр = h²· 3/4 · √15

площадь поверхности пирамиды Sпов = Sосн + Sбок = h² · 3/4 · √3 + h²· 3/4 · √15 = h²· 3/4 · √3 (1 + √5)