K₂MnO₃+H₂O→MnO₂+KMnO₄+KOH

Скорее всего, в вашем задании опечатка, во правленый вариант:

3K₂MnO₄+2H₂O→MnO₂+2KMnO₄+4KOH

Вос-ль: Mn+6 - 1e = Mn+7 (коэффициент прод. 2)

Ок-ль: Mn+6 + 2e = Mn+4 (коэффициент прод. 1)