Какая роль оказалась отведенав римской культуре в Византии и на территориях, занятых германцами и мусульмананами?

Вам задали не вполне корректный вопрос. Такого государства как "Византия" никогда не существовало. Это названия придумано историками в 19 веке, для простоты восприятия отдельной эпохи, по городу-столице, который быль переименован в Константинополь. Собственно, "Византия" и есть Римская империя. Да, она была разделена формально в 397 году, после смерти Феодосия первого - было назначено 2 императора и еще 2 младших цезаря, но разумеется совренникам никогда бы не пришло в голову разделять империю на 2 части. Просто напросто пришла эпоха феодализма. Прежнего унитарного строения государства больше не существовало.

Разумеется, римская культура сохранялась вплоть до окончательного падения Константинополя в 1453 году и захвата его Османами. Разумеется, под влиянием восточной ветви христианства, а затем и православия, греческой философии - культура постепенно менялась постепенно менялась. Латинский алфавит постепенно заменился греческим, исчезли театры, но общая грамотность населения для средневековья была достаточно высокой, сохранились развлечения, такие как гонки на колесницах и разумеется, все правители "Византии" чувствовали родство и императорами древности.

Благодаря землям, захваченным Халифатом у Римской империи и Сосанидской империи - получил невероятный культурный подъем. На этой базе они великолепно развивали науки, все и сейчас пользуются арабской арифметикой.

Про германские народы, занявшие в последствии бОльшую часть западной части Империи говорить можно очень долго. Буквально вся история западноевропейских государств построена на обломках Римской империи, римской культуры, римского же законодательства. Эпоха возрождения и началась с территории нынешней Италии - Венеции, Флоренции и Рима.