какое влияние оказывала борьба между русскими князьями на степень господства орды над русскими землями

Князья в процессе междоусобиц пресмыкались перед ордой с целью получить ярлык (льготная грамота, выдаваемая ордынскими ханами на княжение). Это естественно намного упрощало жизнь завоевателям.

Так как княжества были раздроблены (не было правителя), то захватить их было легко, а управлять - еще проще ...