Почему ливонская война получила такое название

Название войны было взято от названия одной из воющих сторон. Это Ливонский орден

Потому что первоначально война шла между Московским царством и Ливонским орденом, государством немецких рыцарей-крестоносцев на территории современных Латвии и Эстонии. После первых успехов русских, которые претендовали на захват этих территорий, в войну вступили Речь Посполита и Швеция, с юга выступили крымские татары. В итоге для Ивана Грозного война окончилась бесславно, а Ливония была поделена между Польшей и Швецией. Полякам досталась Латвия, шведам - Эстония. Потом уже в ходе войн Швеции с Польшей шведы прибрали к рукам и Латвию с Ригой, ставшую известной как Курляндия. Ну а после удачной для России Северной войны эти территории вошли в состав Российской империи