Почему Герасим решает сам выполнить поручение барыни?

У Герасима было горе и за этого он мог и не топить собаку он мог сбежать!

Герасим был крепостным, т. е. практически собственностью своей барыни, она могла делать с ним всё что хотела. И воспитывали крепостных соответствующе - в полном подчинении хозяину. Герасим просто не мог не исполнить её волю. Но в месте с тем у него смого был внутренний конфликт - необходимость подчиниться приказу и с другой стороны - собачка, которую он любил. Вот он и нашел палеотивное решение - приказ барыни он выполнил, но жить дальше, так как он жил, он бы тоже не смог. Вот он и ушел ...