При каких целых значениях а уравнение соsx + 3sinx/2=2a+1 имеет решение?

Выберите один ответ:

1. - 1, 0

2. - 2, - 1

3. - 2,-1,0

4. 1, 2

Cosx + 3sin (x/2) = 2a+1;

1-2sin² (x/2) + 3sin (x/2) = 2a+1;

2sin² (x/2) - 3sin (x/2) + 2a = 0;

обозначим : sin (x/2) = t;

2t² - 3t + 2a = 0;

Во первых, дискриминант должен быть неотрицателен т. е.

D = 3² - 4*2*2a ≥ 0 = = > a ≤ 9/16;

Во вторых, должно выполняться хотя бы одно из неравенств | t₁ | ≤ 1, | t₂ | ≤1

t₁ = (3 + sqrt (9 - 16a)) / 4 t₂ = (3 - sqrt (9 - 16a)) / 4

a) - 1 ≤ (3 + sqrt (9 - 16a)) / 4 ≤ 1 = = > - 4 ≤ 3 + sqrt (9 - 16a) ≤ 4 = = >

-7 ≤ sqrt (9 - 16a) ≤ 1 = = > 0 ≤ sqrt (9 - 16a) ≤ 1 = = > 0 ≤ 9 - 16a ≤ 1 = = > 1/2 ≤ a ≤ 9/16;

a ∈ [ 1/2; 9/16 ] нет целых чисел;

или

b) - 1 ≤ (3 - sqrt (9 - 16a)) / 4 ≤ 1;

- 4 ≤ (3 - sqrt (9 - 16a) ≤ 4;

- 7 ≤ - sqrt (9 - 16a) ≤ 1;

- 1 ≤ sqrt (9 - 16a) ≤ 7;

0 ≤ sqrt (9-16a) ≤ 7;

0 ≤ 9-16a ≤ 49;

- 49 ≤ 16a - 9 ≤ 0

-40 ≤ 16 а ≤ 9

- 5/2 ≤ a ≤ 9/16;

a ∈ [ - 5/2; 9/16 ] целые значения a = { - 2; - 1; 0 };

ответ: 3).