Найдите наименьшее натуральное число, половина которого есть пятая степень, а пятая часть его есть квадрат.

Число обязательно имеет в разложении на простые множители 2, 3 и 5. Т. к. нужно найти наименьшее натуральное число, других множителей в разложении нет.

Если пятая часть числа - пятая степень, то 2 и 3 входят в разложение в степени, кратной 5, а 5 входит в степени, дающей при делении на 5 остаток 1.

Если третья часть - куб, то 2 и 5 входят в разложение в степени, кратной 3, а 3 входит в степени, дающей при делении на 3 остаток 1.

Если половина - квадрат, то 3 и 5 входят в разложение в четной степени, а 2 - в нечетной.

Итак, 2 входит в степени, кратной 3, 5 и притом в нечетной. Т. к. нужно найти наименьшее число, то 2 входит в 15 степени.

Аналогично, 3 входит в степени, кратной 2 и 5, притом дает в остатке при делении на 3 остаток 1. Наименьший показатель степени, подходящий под эти условия, это 10.

Показатель у 5 отвечает требованиям: делится на 2 и 3, дает при делении на 5 остаток 1. Подходит 6.

Искомое число равно