В конус вписан шар объемом 2. Найдите объем конуса, если его осевое сечение является равносторонним треугольником.

Объём шара:

V = 4/3πR³ ⇒ R = ∛3V/4π = ∛3·2/4·3.14 = ∛6/12.56 = 0.77

R - 1/3 высоты, следовательно:

Н = 3·0.77 = 2.31

Найдём радиус основания - катет плоскости прямоугольного треугольника (высота в равностороннем треугольнике делит его на два прямоугольных). Так как треугольник равносторонний, то все углы по 60 град, следовательно найдём катет изходя из формулы

Н/а = tg60 град ⇒ а = Н / tg60 град = 2.31/1.73 = 1.33

Значит радиус основания r = а = 1.33, исходя из этого найдём площадь основания, как площадь круга (окружности):

S = πR² = 3.14· 1.33² = 5.55

Объём конуса:

V = 1/3·S·H = 1/3·5.55·2.31 = 4.27