В правильной треугольной пирамиде радиус окружности, вписанной в основание, равен 4 м. боковые грани наклонены под углом 45 градусов к основанию найти поверхность пирамиды.

Основанием правильной треугольной пирамиды по определению является равносторонний треугольник. А расстояние от центра основания до боковой грани равно радиусу вписанной окружности. Согласно свойствам равностороннего треугольника площадь основания равна:

S = 3√3 r2 = 3√3 (2√3) 2 = 36√3

Поскольку грани наклонены к основанию под углом 45 градусов, то для прямоугольного треугольника MOK

tg MKO = MO/KO tg 45 = MO / (2√3)

Исходя из таблицы значений тригонометрических функций tg 45 = √3

√3 = MO / (2√3) MO = 6

Таким образом, высота пирамиды равна 6 см.

Объем пирамиды найдем по формуле:

S = 1/3 Sh S = 1/3 * 36√3 * 6 S = 72√3

Ответ: 72√3