Две стороны треугольника не равны друг другу, докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, образует с большей из этих сторон меньший угол.

Пусть дан треугольник АВС. АС больше АВ. Медиана АМ. М - середина ВС. Проведем биссектрису АО, где О лежит на ВС ... Известно, что биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (это известная теорема доказывается так: сторона ВА продолжается на величину АС, так, что получатся точка У и АУ=АС, легко видеть, что УС - параллельна биссектрисе). Итак: ОС больше ОВ.

Угол ВАС обозначим а. Угол ОАМ обзначим х. Тогда угол МАС равен а/2-х, а угол МАВ=а/2+х, т. е МАС меньше МАВ, что и требовалось.