Найти наименьшее значение суммы кубов двух положительных чисел, если сумма их квадратов равна 50.

Пусть числа равны x и y.

x^2 + y^2 = 50

y = √ (50 - x^2)

Нужно найти минимум функции

z = x^3 + y^3 = x^3 + √ (50-x^2) ^3 = x^3 + (50-x^2) ^ (3/2)

Найдем производную и приравняем к 0

z ' = 3x^2 + 3/2 * (50 - x^2) ^ (1/2) * (-2x)

z ' = 3x^2 - 3x*√ (50 - x^2) = 3x * (x - √ (50 - x^2)) = 0

x = √ (50 - x^2)

x^2 = 50 - x^2

2x^2 = 50

x = 5; y = √ (50 - x^2) = x = 5

5^2 + 5^2 = 50

5^3 + 5^3 = 250