В семизначном телефонном номере Незнайки нет нулей. Как-то Незнайка сказал, что если сложить все двузначные числа, получающиеся вычеркиванием пяти цифр из его номера, то получится 2009. Докажите, что Незнайка ошибся.

Пусть номер Незнайки записывается как abcdefg, где a, b, ..., g - цифры от 1 до 9, не обязательно различные. Всего существует 7*6/2=21 двузначное число, которое можно получить из этого номера вычеркиванием пяти цифр.

Заметим, что существует ровно 6 чисел, в которых цифра a исходного числа стоит на первом месте - ab, ac, ad, ae, af, ag. Аналогично, существует 5 чисел, в которых цифра b исходного числа стоит на первом месте - bc, bd, be, bf, 4 числа, в которых цифра c стоит на первом месте, и так далее, 1 число ef, в котором цифра e стоит на первом месте.

Кроме того, существует ровно 6 чисел, в которых цифра g стоит на последнем месте (ag, bg, cg, dg, eg, fg), 5 чисел, в которых цифра f стоит на последнем месте (af, bf, cf, df, ef), и так далее, 1 число ab, в котором цифра b стоит на последнем месте.

Теперь рассмотрим сумму ab+ac+ad + ... + ef из 21 двузначного числа, о которых шла речь выше. Эту сумму можно представить в виде (10a+b) + (10a+c) + (10a+d) + ... + (10e+f) - если цифра стоит на первом месте, то её нужно умножить на 10. Поскольку мы уже знаем, сколько раз в этой сумме каждая цифра находится на первом и втором месте, мы можем записать сумму следующим образом: (10a+b) + (10a+c) + (10a+d) + ... + (10e+f) = 60a + (50+1) b + (40+2) c + (30+3) d + (20+4) e + (10+5) f+6g=60a+51b+42c+33d+24e+15f+6g.

Заметим, что каждое слагаемое делится на 3, значит, и результат должен делиться на 3. Число 2009 на 3 не делится, следовательно, Незнайка ошибся.