Докажите, что прямая, проходящая через центр правильного шестиугольника, делит его на части, с равными площадями

Центр правильного многоугольника - точка пересечения его диагоналей. Правильный 6-угольник делится его диагоналями на 6 равных правильных треугольников с равными площадями.

Пусть 6-угольник А1 А2 А3 А4 А5 А6 с цетром О.

Он состоит из 6 треугольников А1 А2 О, А2 А3 О, А3 А4 О, А4 А5 О, А5 А6 О, А6 А1 О.

Если прямая проходит через одну из диагоналей, то в каждой части остается по 3 равных треугольника, очевидно, что их площадь равна.

Если прямая не совпадает с диагональю, а проходит через треугольники А1 А2 О и А4 А5 О.

В одной части фигуры остались 2 целых треугольника А2 А3 О и А3 А4 О, в другой А5 А6 О и А5 А6 О. Эти части равны.

Треугольники А1 А2 О и А4 А5 О разрезаны на 2 части. Точка пересечения прямой с со стороной треугольника А1 А2 - В, со стороной треугольника А4 А5 - С.

Докажем равенство получившихся треугольников А1 ВО и А4 СО. Они равны по стороне - А1 О=А4 О и 2 углам - углы ОА1 В и ОА4 С равны т. к. это углы равносторонних треугольников. Углы А1 ОВ и А4 ОС равны как вертикальные. Аналогично для треугольников ВА2 О и СА5 О.

Т. Е. обе части 6-угольника целиком равны.