Назовем набор из нескольких (из восьми) натуральных чисел"хорошим", если сумма этих чисел равна 196, а сумма любых восьми из них не больше, чем 24. сколько чисел в самом коротком из хороших набором

Покажем, что существует хороший набор из 8*8+2=66 чисел. Возьмем 64 тройки и 2 двойки, их сумма равна 64*3+2*2=196, а сумма любых 8 чисел не превосходит 3*8=24, что и требовалось.

Теперь докажем, что не существует хорошего набора из 65 чисел. Предположим, что это не так и рассмотрим один из таких наборов. Упорядочим числа в нем по убыванию и разобьем их на группы по 8 чисел в каждой (в первой группе числа с 1-го по 8-е, во второй с 9-го по 16-е, и так далее, в последней с 57-го по 64-е). По условию, сумма чисел в каждой группе не превосходит 24. Теперь рассмотрим последнее, самое маленькое число, не вошедшее ни в одну группу. Поскольку сумма всех чисел равна 196, а сумма чисел в каждой из 8 групп не превосходит 24, то это число не меньше, чем 196-24*8=4. Значит, каждое из остальных чисел тоже не меньше 4, но тогда сумма всех чисел не меньше 65*4=260, что противоречит условию.

Таким образом, мы доказали, что не существует хорошего набора из 65 чисел. Пусть существует более короткий хороший набор из 65-N чисел, тогда, добавив в него N нулей, получим хороший набор из 65 чисел, что противоречит уже доказанному факту. А значит, самый короткий из хороших наборов содержит 66 чисел.