Площадь прямоугольного треугольника равна 8 см^2. какими должны быть длины сторон треугольника, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на его сторонах, была наименьшей

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S=ab/2=8

Отсюда b=16/a.

Гипотенуза c=√ (a^2+b^2) = √ (a^2+256/a^2)

Сумма площадей квадратов, построенных на сторонах

P=a^2+b^2+c^2=2c^2=2 (a^2+256/a^2)

Найдём минимум, приравняв производную к нулю.

P'=2 (2a+256 (-2) / a^3) = 0

(2a^4-2*256) / a^3=0

a^4=256=2^8

a=2^2=4: b=16/a=16/4=4

Ответ: когда катеты a=b=4, c=4√2