Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина - алюминиевые массой 10 г, а половина - дюралевые массой 9,9 г. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них - одинаково. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

За 1 взвешивание

я читал решение

здесь массы шаров не нужны

важно лишь то, что одни легче,

а другие тяжелее

(лёгких шариков всего 1000)

делим шарики на 3 кучки

667, 667, 666

если

m (667) ≠ m (667)

то задача решена

а если

m (667) = m (667)

то убираем шарик из одной из этих куч

и взвешиваем с третьей кучей

получаем m (666) ≠ m (666)

{теперь докажу это}

если кучи равны m (667) = m (667)

то и количество лёгких шариков

в них одинаково

пусть

в 1 и во 2 куче по n лёгких шаров

тогда в третьей куче

лёгких шариков 1000-2n

чтобы 3 куча

была равна по весу 1 и 2 куче

нужно чтобы там

тоже было n лёгких шариков

или n-1

(т. к. мы убираем шар из 1 или 2 кучи,

и убранный шар может быть легким)

получается

в третьей куче 1000-2n легких

и одновременно

n легких или n-1

тогда

1000-2n = n

1000-2n = n-1

данные уравнения

не имеют целочисленных решений

решено