На столе лежат 60 монет. Два игрока по очереди берут со стола 1, 2, 3 или 4 монеты. Выигравшим считается тот, кто возмёт последнюю монету. Кто выиграет при правильной игре (тот, кто начинает игру, или, наоборот, второй игрок) и почему?

Можно ли выписать девять чисел по кругу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так, чтобы сумма никаких двух соседних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Задача 1. Введем функцию f (n), которая будет в качестве аргумента принимать целое неотрицательное число и принимать значения 1 или 2. 1 в случае, если при n имеющихся в начале игры монетах побеждает первый игрок, и 2 в случае, если побеждает в итоге второй игрок.

Будем набирать значения этой функции последовательно, начиная с n=1.

При n=1 первому игроку логично взять 1 монету и выиграть. При n=2, 3 и 4 то же самое. То есть f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 1.

Теперь рассмотрим n=5. В этом случае как бы первый игрок ни пошел, выиграет второй игрок, потому что для второго игрока остаются монеты, которые он может все забрать. То есть f (5) = 2.

Теперь рассмотрим n=6. Первый игрок может поставить второго игрока в такое же положение, в каком он был, когда игра начиналась с 5 монет. То есть, взяв одну монету, первый игрок оставляет 5 монет второму игроку. Второй игрок же не может их все взять. В итоге побеждает первый. То есть f (6) = 1. Аналогично и для 7,8,9 - первому игроку надо брать соответственно 2,3 и 4 монеты, чтобы поставить второго игрока в положение при n=5.

Суть в том, что если у первого игрока изначально есть n монет и если он может поставить второго игрока в проигрышную ситуацию, если уберет от 1 до 4 монет, то выиграет 1 игрок. В противном случае выиграет второй. То есть если хотя бы одно из значений f (n-1), f (n-2), f (n-3) и f (n-4) равно 2, то побеждает первый игрок, то есть f (n) = 1. Иначе f (n) = 2.

Основываясь на такой зависимости, можно выписать несколько первых элементов:

1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2 ...

Зависимость получилась периодическая с периодом 5: 1, 1, 1, 1, 2. То есть каждое 5-е значение проигрышное для первого игрока. Это и логично, поскольку большего количества единиц подряд, чем 4, быть не может. Таким образом, f (60) = 2 - победит второй игрок.

Задача 2.

Тут можно построить дерево. Его корнем пусть будет 1. Дальше от него могут идти значения 3 и 7, поскольку другие значения в сумме с 1 будут давать числа, кратные 3, 5 или 7. И так далее. В итоге дерево, наверное, не сильно большое получится, но мне было лень это делать, и я написал рекурсивный перебор и получил такие ответы:

1 3 8 5 6 2 9 4 7

1 7 4 9 2 6 5 8 3