Треугольник ABC задан вершинами A = (1,2), B = (2,-2), C = (6,1). Найти угол между высотой CD и медианой BM

Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁; у₁) и (х₂; у₂) имеет вид:

(x-x₁) / (x₂-x₁) = (y-y₁) / (y₂-y₁) Уравнение прямой АВ:

(x-1) / (2-1) = (y-2) / (-2-2) или - 4 (х-1) = у-2 или 4 х+у-6=0. n₁ (4; 1) - нормальный вектор прямой АВ.

Координаты нормального вектора прямой СD легко подбираются устно: n₂ = (-1; 4).

У перпендикулярных прямых нормальные векторы ортогональны, значит их скалярное произведение должно быть равно 0.

n₁· n₂=4· (-1) + 1·4=0

Уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ имеет вид: - х+4 у+k=0

Подставляем координаты точки С (6; 1) для нахождения k.

-6+4+k=0 ⇒ k=2. Уравнение прямой СD : - x + 4y+2=0

Координаты точки М - середины отрезка АС:

х = (1+6) / 2=3,5, у = (2+1) / 2=1,5.

М (3,5; 1,5)

Уравнение прямой ВМ как прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами,

имеет вид: (x-2) / (3,5-2) = (y+2) / (1,5+2) или 3,5 (х-2) = 1,5 (у+2) или 7 х-3 у-20=0.

Нормальный вектор прямой ВМ n₃ = (7; -3).

Угол между прямыми СD и ВМ равен углу между их нормальными векторами n₂ (-1; 4) и n₃ (7; -3).

сos α = n₂ ·n₃ / | n₂|·| n₃ | = ((-1) ·7+4· (-12)) / √ ((-1) 2+42) ·√ (72 + (-3) 2) =

=-19/√ (17) ·√ (58).

α=arccos (-19/√ (17) ·√ (58)) = π-arccos (19/√ (17) ·√ (58))

это тупой угол, а смежный с ним острый.

В ответе берут острый угол.

О т в е т. arccos (19/√ (17) ·√ (58))