Каким количеством способов можно разложить 12 шариков по 4-м коробкам? Коробки пронумерованы, шарики - нет. Можно, чтобы шарики были не во всех коробках.

Способов положить k шариков в 1 коробку существует P (k, 1) = 1 для любого k.

Способов положить k шариков в 2 ящикa существует P (k, 2) = k+1 (кладем 0,1,2, ..., k шариков в 1-ю коробку, и, соответственно, k, k-1, k-2, ...,0 шариков - во вторую коробку. Всего k+1 возможностей).

Также P (0, n) = 1 для любого n (мы можем единственным способом разложить 0 шариков по n коробкам).

Далее, из рекуррентной формулы P (k, n) = P (0,1) P (k, n-1) + P (1,1) * P (k-1, n-1) + P (2,1) * P (k-2, n-1) + ... P (k, 1) * P (0, n-1) для P (12,4) и суммирования членов арифметических прогрессий следует наш результат P (12,4) = 455.

Ответ: 455 способами.