N! / (n-5) !=20n! / (n-3) !

с объяснением.

Стоящий рядом с числом восклицательный знак называется факториалом этого числа. Например n! - это n-факториал, равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

Для наглядности рассмотрим такие примеры:

3!=1*2*3, 4!=1*2*3*4, но мы можем записать его и так: 4! = (1*2*3) * 4=3!*4.

Аналогично, 5! мы можем записать так: 5!=1*2*3*4*5=3!*4*5=4!*5.

В общем случае: n!=1*2*3 * ... * (n-2) * (n-1) * n = (n-2) ! * (n-1) * n = (n-1) !*n.

Теперь заданное уравнение:

Левая часть: n! / (n-5) ! = (n-5) ! * (n-4) * (n-3) * (n-2) * (n-1) * n / (n-1) ! = (n-4) * (n-3) * (n-2) * (n-1) * n - сократили на (n-5) !.

Правая часть: 20*n! / (n-3) !=20 * (n-3) ! * (n-2) * (n-1) * n / (n-3) !=20 * (n-2) * (n-1) * n.

Получилось такое уравнение: (n-4) * (n-3) * (n-2) * (n-1) * n=20 * (n-2) * (n-1) * n. Поскольку операция факториал определена только для натуральных чисел, т. е. чисел больших нуля, хотя принято, что 0!=1, то (n-5) должно быть больше или равно нулю, т. е (n-5) >=0, отсюда n>=5, а значит n>0, (n-4) >0, (n-3) >0, (n-2) >0, (n-1) >0, и на любое из них можно сократить. Сокращаем на (n-2) * (n-1) * n, осталось (n-4) * (n-3) = 20, - обычное квадратное уравнение относительно n. n^2-7*n+12=20, n^2-7*n-8=0, откуда получаем n (1) = 8, n (2) = - 1. Два корня, но n - должно быть натуральным, т. е положительным, подходит только n=8.