В знакочередующейся геометрической прогрессии первый член равен 3, а сумма третьего и пятого членов равна 60. Найдите второй член прогрессии?

Сумма третьего и пятого членов:

S = b1 (q^2 + q^4) = 60

q^2 + q^4 = 20

q^4 + q^2 - 20 = 0. По теореме Виета находим возможные значения q^2:

q^2 = - 5 - не подходит

q^2 = 4 значит q = - 2 (по условию знакопеременности).

Тогда b2 = b1*q = - 6.

Ответ: - 6.

1. Нам нужно найти знаменатель q, который должен быть отрицательным, т. к. прогрессия знакочередующаяся.

Выражаем третий и пятый члены прогрессии через ее первый член и знаменатель: b3 = 3q²; b₅ = 3q⁴.

Зная, что их сумма равна 60, составляем уравнение:

3q²+3q⁴=60

3q⁴+3q²-60=0 / 3

q⁴+q²-20=0 - биквадратное уравнение

q²=t

t²+t-20=0

По теореме Виета: t₁ = - 5 - не подходит, т. к. q²≠ - 5

t₂ = 4 ⇒ q²=4

Нас интересует только отрицательный корень. q=-2

2. Находим b₂.

b₂ = b₁ q

b₂ = 3· (-2) = - 6

Ответ. - 6