Их цифр 1,2,3,4,5,6,7, составляются всевозможные семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр встречается ровно 1 раз. доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.

1234567,2134567,2314567, понятно?

Рассмотрим каждое такое число. Сумма его цифр равна 1+2+3+4+5+6+7=28

28 дает остаток 1 при делении на 9, значит, всё число будет давать остаток 1 при делении на 9.

Теперь поймем, сколько у нас таких чисел.

На первое место можно поставить одну из 7 цифр (7 способов), на второе - 6, третье - 5 и т. д.

Всего способов: 7*6*5*4*3*2*1=5040

Значит, всего чисел 5040. 5040 делится на 9, значит, количество чисел делится на 9. Тогда, мы можем разбить все числа на группы из 9 чисел (не имеет значения, как). В каждой группе каждое число дает остаток 1, в группе чисел 9. Тогда сумма чисел в группе будет давать остаток 9, т. е. будет делиться на 9. Тогда, каждая группа будет делиться 9, значит, будет делиться и их сумма. Что и требовалось доказать.