В каждую клетку квадрата размером 6 6 клеток вписали одно из чисел 1 0 1. Могут ли суммы чисел, записанных в каждой строке, в каждом столбце и по двум большим диагоналям, быть разными?

Нет не могут. Всего у нас 6 строк 6 столбцов и 2 диагонали, каждая из них длины 6. Для данных трех чисел возможно 13 различных сумм, от - 6 до + 6, включая 0. Но элементов, по которым надо "расставить" данные суммы: 14. Следовательно, это невозможно