А, В и С попарно взаимно простые натуральные числа.

Найти все возможные значения (А+В) * (А+С) * (В+С) / (А*В*С),

если известно, что это число целое.

Буду признателен, если найдет еще тройку чисел, кроме 1,2,3.

Натуральные числа взаимно простые, если они не имеют никаких общих делителей, кроме 1.

Обозначим N = (A+B) * (A+C) * (B+C) / (A*B*C), по условию это целое число.

Перепишем (A+B) * (A+C) * (B+C) = N*A*B*C

Если среди натуральных чисел А, В, С есть одинаковые, то можно принять, что А=В (нет никакой разницы, какую пару чисел считать равной). Но тогда наибольший общий делитель чисел А и В равен числу А, и равен 1. Т. е. А=В=1.

Подставив эти значения в выражение (A+B) * (A+C) * (B+C) = N*A*B*C, получим: 2 * (С+1) * (С+1) = N*C. Отсюда следует, что 2 делится на С; и следовательно, С=1 или С=2.

Таким образом, имеем две тройки чисел: А=1, В=1, С=1 и А=1, В=1, С=2

Теперь рассматриваем случай, когда числа А, В и С попарно различны. Для однозначности будем считать, что А < B < C.

Если два числа взаимно простые, то сумма этих чисел взаимно проста с каждым из них, поэтому из нашего выражения (A+B) * (A+C) * (B+C) = N*A*B*C следует, что А+В=M*С и А+С=К*В, где М и К - натуральные числа.

Т. к. А+B < 2*C (см. выше, где мы приняли, что А
Выразим С из А+С=К*В и подставим в А+В=С:

С=К*В-А

А+В = К*В - А, откуда 2*А = (К-1) * В

Т. к. А и В взаимно простые, то 2 делится на В.

Учитывая, что 1 ≤ A 1 и, значит, В=2. Тогда А=1 и С=3.

Итак, ещё одна тройка чисел А=1, В=2, С=3

Итого три тройки чисел:

1,1,1

1,1,2

1,2,3