Ненулевые числа а, b удовлетворяют условиям: 6a+6b=25/a+25/b=25. Чем может равняться значение выражения: a/b+b/a?

Решаем систему

{ 6a + 6b = 25

{ 25/a + 25/b = 25

Делим 1 уравнение на 6, а 2 уравнение на 25

{ a + b = 25/6

{ 1/a + 1/b = 1

Получаем

(a + b) / (ab) = 1

a + b = ab = 25/6

Из равенства a + b = ab получаем b (a - 1) = a, то есть

b = a / (a - 1).

Подставляем

a + a / (a - 1) = 25/6

6a (a - 1) + 6a = 25 (a - 1)

6a^2 - 6a + 6a - 25a + 25 = 0

6a^2 - 25a + 25 = 0

D = 25^2 - 4*6*25 = 25 * (25 - 24) = 25 = 5^2

a1 = (25 - 5) / 12 = 20/12 = 5/3; b1 = 25/6 - a = 25/6 - 5/3 = 15/6 = 5/2

a2 = (25 + 5) / 12 = 30/12 = 5/2; b2 = 25/6 - a = 25/6 - 5/2 = 10/6 = 5/3

Итак, числа а и b равны 5/2 и 5/3.

a/b + b/a = (5/2) : (5/3) + (5/3) : (5/2) = 5/2*3/5 + 5/3*2/5 = 3/2 + 2/3 = 13/6