Верно ли утверждение 1) число 11 ... 1122, в котором 2016 единиц и 2016 двоек, делится на 6.

2) если 15% от целого числа А - это целое число, то А делится на 20

3) если х^2 = - хy, то обязательно х+y=0

4) если точка (2,3) лежит на оси параболы y=x^2+2ax-а+1, то точки (3; 0) лежит на этой параболе

5) при некотором а управнение |2 х-1|+|х-1|+|х-2|=а имеет бесконечно много решений

6) при некотором а уравнение х ^2-а=1/х имеет ровно 2 корня

1) Число кончается на 2, то есть четное.

Сумма цифр 2016*1 + 2016*2 = 2016*3 - делится на 3.

Да, это число делится и на 2, и на 3, то есть делится на 6.

2) 15% от числа А = 0,15A = 15A/100 = 3A/20

Если оно целое, то А должно быть кратно 20.

3) x^2 = - xy

x^2 + xy = 0

x (x + y) = 0

Или x = 0, или x + y = 0, но необязательно, что x + y = 0

4) Ось параболы y = ax^2 + bx + c имеет уравнение x = - b / (2a)

Парабола y = x^2 + 2ax - a+1. Ее ось x = - 2a/2 = - a.

Если точка (2, 3) лежит на этой оси, то x = - a = 2, a = - 2

Уравнение параболы принимает вид y = x^2 - 4x + 3.

y (3) = 3^2 - 4*3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0

Точка (3, 0) лежит на этой параболе.

5) |2x-1| + |x-1| + |x-2| = a

При x < 1/2 будет |2x-1| = 1-2x; |x-1| = 1-x; |x-2| = 2-x

1 - 2x + 1 - x + 2 - x = 4 - 4x = a

x = 1 - a/4 < 1/2

a/4 > 1/2

a > 2 - при таких а будет 1 решение, при a < 2 решений нет

При 1/2 < = x < 1 будет |2x-1| = 2x-1; |x-1| = 1-x; |x-2| = 2-x

2x - 1 + 1 - x + 2 - x = a

2 = a - при этом решением является любое x = [1/2; 1),

то есть бесконечное количество решений.

Дальше можно не рассматривать, все уже доказано.

6) x^2 - a = 1/x

x^3 - ax = 1

x^3 - ax - 1 = 0

Оно будет иметь два решения, если кубическое уравнение раскладывается на двучлен и квадрат двучлена

(x - x1) (x - x2) ^2 = (x - x1) (x^2 - 2x*x2 + x2^2) = 0

x^3 - x1*x^2 - 2x2*x^2 + 2x*x1*x2 + x*x2^2 - x1*x2^2 = 0

x^3 - (x1 + 2x2) * x^2 + (2x1*x2 + x2^2) * x - x1*x2^2 = 0

x^3 - ax - 1 = 0

Коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны

{ x1 + 2x2 = 0

{ 2x1*x2 + x2^2 = - a

{ x1*x2^2 = 1

Подставляем

{ x2^2 = 1/x1

{ x2 = - x1/2

{ 2x1*x2 + x2^2 = - a

Из 1 и 2 уравнений получаем

x2^2 = x1^2/4 = 1/x1

x1^3 = 4

x1 = ∛ (4) = 2^ (2/3)

x2 = - x1/2 = - 2^ (-1+2/3) = - 2^ (-1/3)

Вычисляем а

2x1*x2 + x2^2 = - a

2*2^ (2/3) * (-2^ (-1/3)) + 2^ (-2/3) = - a

-2^ (1+2/3-1/3) + 2^ (-2/3) = - a

a = 2^ (4/3) - 2^ (-2/3)

При таком а уравнение имеет 2 корня x1 = 2^ (2/3), x2 = - 2^ (-1/3)