Доказать, что k^3-k делится на 6 при любом значении k.

k^3-k=k (k^2-1) = k (k-1) (k+1) = (k-1) * k * (k+1)

Данное выражение представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел, из которых по крайней мере одно будет делиться на 2, и одно - на 3. Числа 2 и 3 взаимно простые, поэтому выражение (k-1) * k * (k+1) обязательно будет делиться на их произведение, т. е. на 6.