Найти точки перегиба функции

у = x^3 + 3x^2 - 5x - 6

Исследовать функцию:

у (x) = x^3/3-x^2+6

1. Область определения функции (-бесконечность; бесконечность)

2. Множество значений функции (-бесконечность; бесконечность)

3. Проверим, является ли функция четной или не четной?

у (x) = x^3/3-x^2+6

у (-x) = (-x) ^3/3 - (-x) ^2+6=-x^3/3-x^2+6, так как у (x) не=у (-x) и у (-x) не=-у (x), то данная функция не является ни четной ни не четной.

4. Найдем координаты точек пересечения графика функции с осями координат:

а) с осью ОХ: у=0, x^3/3-x^2+6=0, данное уравнение не имеет рационального корня, а корень принадлежит промежутку (-2; -1)

б) с осью ОУ: х=0, тогда у=6. Следовательно график функции пересекает ось ординат в точке (0; 6)

5) Найдем точки экстремума функции и промежутки возрастание и убывания:

у' (x) = x^2-2x; f' (x) = 0

x^2-2x=0

x1=0

x2=2. Получили две стационарные точки, проверим их на экстремум:

Так как на промежутках (-бесконечность; 0) и (2; бесконечность) у' (x) >0, то на этих промежутках функция возрастает.

Так как на промежутке (0; 2) у' (x) <0, то на этом промежутке функция убывает.

Так как при переходе через точку х=0 производная меняет свой знак с + на -, то в этой точке функция имеет максимум у (0) = 0-0+6=6

Так как при переходе через точку х=2 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимуму у (2) = 8/3-4+6=14/3

6. Найдем точки перегиба функции и промежутки выпуклости:

y" (x) = 2x-2; y" (x) = 0

2x-2=0

x=1

Так как на промежутке (-бесконечность; 1) y" (x) <0, то на этом промежутке нрафик функци направлен выпуклостью вверх.

Так как на промежутке (1; бесконечность) y" (x) >0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклотью вниз

Так как при переходе через точку х=1 вторая производная меняет свой знак, то точка х=1 является точой перегиба. y (1) = 1/3-1+6=16/3

7. проверим имеет данная функция асимптоты:

а) вертикальные

Так как точек разрыва функция не имеет, то она не имеет вертикальных асимптот.

б) наклонные вида у=kx+b

k=lim y (x) / x=lim ((x^3/3-x^2+6) / x) = бесконечность

Так как данный предел бесконечен, то график не имеет наклонных асимптот