Исследовать на экстремум функцию z=x^2+xy+y^2-6x-9y

Найди частные производные по обоим переменным (отдельно).

(в предыдущем ответе я написал как берётся частная производная)

Приравняй обе к нулю - будет система линейных уравнений.

Найди решение системы.

Найди значение второго дифференциала в этих точках.

Второй дифференциал запишется так:

dZ = Zxx*dx*dx + 2Zxy*dx*dy + Zyy*dy*dy

Это надо рассмотреть как квадратичную форму от dx и dy.

Если она положительно определена - значит строгий минимум

Если отрицательно - максимум

Если не определена - нет эктремума

Если полуопредела - надо исследовать дальше.

Частные производные:

Zx=2x+y-6=0

Zy=x+2y-9=0

2x+y-6=0

-2x-4y+18=0

-3y+12=0 = > y=4

=>x=1

Zxx=2

Zxy=1

Zyy=2

(от х и у вообще не зависят. ну и ладно)

Значит

d2Z=2 (dx) ^2+dxdy+2 (dy) ^2 =

(корень (2) dx+dy / (2*корень (2))) ^2 + (2-1/8) * (dy) ^2

Значит положительно определена.