Имеются 100 бесконечных геометрических прогрессий, каждая из которых состоит из натуральных чисел. всегда ли можно указать натуральное число, которое не содержится ни в одном из этих прогрессий?

Да конечно. Первый элемент каждой такой прогрессии должен быть рациональным числом и их знаменатель кажой прогрессии обязан быть натуральным числом большим 1 (иначе они не состояли целиком из натуральных чисел или не были бы бесконечными). Это значит, что с некоторого номера каждый элемент прогрессии делится на ее знаменатель, т. е. является составным числом. Поэтому если взять достаточно большое простое число (а это можно сделать, т. к. простых бесконечно много), то оно и будет искомым.