Окружность разбита на несколько дуг, каждая из которых выкрашена либо в красный, либо в синий цвет (крайние точки дуг выкрашены в один из цветов). При этом сумма центральных углов, опирающихся на синие дуги, больше, чем сумма центральных углов, опирающихся на красные дуги. Докажите, что имеется такой диаметр, обе крайние точки которого-синие.

Предположим, что такого диаметра не существует. Выберем произвольную синюю дугу AB. Рассмотрим дугу A'B' такую, что точки A и A', B и B' симметричны относительно диаметра. Если на дуге A'B' есть хотя бы одна синяя точка C' (возможно, совпадающая с концами дуги), то симметричная ей точка C лежит на дуге AB и также является синей, что противоречит нашему предположению. Значит, дуга A'B' является целиком красной.

Таким образом, любой синей дуге на окружности соответствует красная дуга такой же длины. Это противоречит условию, поскольку сумма длин синих дуг должна быть больше суммы длин красных дуг. А значит, наше предположение неверно и найдется диаметр, оба конца которого синие, что и требовалось.