если прямая, заданные уравнениями ax+2y=-1 и 10z-6y=b+2, совпадают, то значение 3a+b равно

Простого решения, тем более геометрического (пока?) предложить не могу; довольствуюсь тем, что есть.

Запишем каноническое уравнение параболы ы виде y=ax² (т. е. поместим вершину параболы в начало координат и направим ось y вдоль оси симметрии).

Пусть точки A, B, C имеют абсциссы x1, x2, x3 и ординаты соответственно ax1², ax2², ax3².

a) Запишем уравнение нормали к параболе на примере точки A. Производная (и, соответственно, угловой коэффициент касательной) равны 2ax1, соответственно, угловой коэффициент нормали равен (-1) / (2ax1); уравнение нормали имеет вид

2ax1 (y-ax1²) + (x-x1) = 0

Аналогичные уравнения получаются для нормалей в точках B и C. Найдём, например, точки пересечения нормалей в точках A и B:

{ 2ax1 (y-ax1²) + (x-x1) = 0,

{ 2ax2 (y-ax2²) + (x-x2) = 0.

На самом деле, нам достаточно найти одну из координат - например, y (x однозначно выразится через y, т. к. хотя бы одна из прямых не параллельна оси y).

Вычитая из первого уравнения второе, после преобразований с учётом x1≠x2 получим:

y = 2 (x1²+x1•x2+x2²) + 1 / (2a)

Для того чтобы все три нормали пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы ординаты точек пересечения нормалей (A и B) и (B и С) совпадали.

Записываем соответствующее уравнение:

2 (x1² + x1²•x2 + x²) + 1 / (2a) = 2 (x2² + x2•x3 + x3²) + 1 / (2a);

(x1-x3) (x1+x2+x3) = 0

Поскольку x1≠x3, то получаем окончательное условие перечения всех трёх нормалей в одной точке:

(1) x1 + x2 + x3 = 0

b) теперь запишем условие того, что точка пересечения медиан треугольника ABC лежит на оси симметрии (она же - ось ординат x=0).

Нас интересует только абсцисса точки пересечения медиан.

Середина A1 стороны BC имеет абсциссу (x2+x3) / 2.

Как известно, медиана AA1 делится точкой пересечения медиан в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому точка перечения медиан имеет абсциссу

x1 + (2/3) • ((x2+x3) / 2-x1) = (x1 + x2 + x3) / 3

Таким образом, точка перечения медиан лежит на оси ординат тогда и только тогда, когда выполняется условие

(2) x1 + x2 + x3 = 0