Доказать, что, если сумма цифр числа равна 9, то всё число делится на 9.

Пусть N = ... abcd, где a, b, c, d - цифры. Само число N = d+10c+100b+1000a + ...

2N=2d+10*2c+100*2b+1000*2a + ... Если какие-либо из цифр a, b, c, d больше 4, то

2N = (2d-10) + 10 (2c+1-10) + 100 (2b+1) + 1000*2a + ...

Запишем равенство суммы цифр чисел N и 2N.

d+c+b+a + ... = (2d-10) + (2c-9) + (2b+1) + 2a + ... = 2d+2c+2b+2a-9k + ... где k-нат. число.

Отсюда d+c+b+a + ... = 9k, где k-нат. число. Значит N делится на 9.