Найдите сумму всех корней уравнения log5 (3⋅2^ (x+1) - 2^ (-x) ⋅5^ (2x+1)) = x+log5 (13).

Область определения логарифма. Число под логарифмом > 0

3*2^ (x+1) - 2^ (-x) * 5^ (2x+1) > 0

3*2*2^x - 5*5^ (2x) / 2^x > 0

Приводим к общему знаменателю 2^x

(6*2^ (2x) - 5*5^ (2x)) / 2^x > 0

2^x > 0 при любом х, поэтому проверяем числитель

6*2^ (2x) - 5*5^ (2x) > 0

Делим все на 5^ (2x)

6 * (2/5) ^ (2x) - 5 > 0

(2/5) ^ (2x) > 5/6

Основание 0< 2/5 < 1, значит функция убывающая.

Переходим к логарифму с заменой знака.

2x < log (осн 2/5) (5/6)

2x < (lg 5 - lg 6) / (lg 2 - lg 5)

x < 1/2 * (lg 6 - lg 5) / (lg 5 - lg 2) ~ 1/2*0,07918/0,39794 ~ 0,0995

Перенесем логарифм налево

log5 [ (6*2^ (2x) - 5*5^ (2x)) / 2^x ] - log5 (13) = x

log5 ([ (6*2^ (2x) - 5*5^ (2x)) / 2^x ] / 13) = x

[ (6*2^ (2x) - 5*5^ (2x)) / 2^x ] / 13 = 5^x

(6*2^ (2x) - 5*5^ (2x)) / 2^x = 13*5^x

6*2^ (2x) - 5*5^ (2x) = 13*5^x*2^x

6*2^ (2x) - 13*5^x*2^x - 5*5^ (2x) = 0

Делим все на 5^ (2x)

6 * (2/5) ^ (2x) - 13 * (2/5) ^x - 5 = 0

Замена (2/5) ^x = y > 0 при любом х

6y^2 - 13y - 5 = 0

Наконец-то добрались до любимого квадратного уравнения

D = 13^2 - 4*6 * (-5) = 169 + 120 = 289 = 17^2

y1 = (2/5) ^x = (13 - 17) / 12 < 0 - не подходит

y2 = (2/5) ^x = (13 + 17) / 12 = 30/12 = 5/2

x = - 1 - подходит по обл. опр. x < 0,0995

Корень только один, поэтому сумма корней равна ему же

Ответ: - 1