Периметр равнобедренного треугольника равен 12. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, полученного вращением этого треугольника вокруг своей высоты, был наибольшим?

Пусть r - радиус основания конуса, тогда основание тр-ка 2r, боковая сторона (12-2r) / 2=6-r (поэтому r может меняться от 0 до 6),

а высота по Пифагору h=sqrt (6^2-12r).

Объем конуса V (r) = (1/3) * 6i*r^2*sqrt (6^2-12r).

Искать максимум этой функции при r из [0, p].

Проще искать максимум квадрата объема (там нет корней)

[V (r) ]^2 = (1/9) * 6i^2*r^4 * (6^2-12r).

Максимум все равно будет достигаться на одном и том же r.

Производная от V^2:

(1/9) * 6i^2*6 * (4*6*r^3-10*r^4) = 0

2 корня из нужного интервала:

r=0 и r=2*6/5=2 целых 2/5

Легко видеть, что максимум - второй корень.

от себя: Задача по геометрии. Пишите их в раздел по геометрии а не сюда