У Васи есть 9 гирь массами 1 кг, 2 кг, 3 кг, ..., 9 кг. Вначале он ставит одну изгирь на любую чашку чашечных весов. Потом он одну за другой выбирает гири икаждую следующую ставит на ту чашку, суммарный вес гирь на которой меньше. Известно, что после постановки первой гири весы никогда не были в равновесии. На какое наибольшее число килограммов гири одной чашки могут перевешивать гири другой чашки, после того как будут выставлены все 9 гирь?

Сначала докажем, что число килограммов, на которое одна чашка весов может перевешивать другую, не превосходит 7. Общий вес всех гирь равен 45 кг. Пусть общий вес гирь на более легкой чаше весов в конце концов оказывается равным x кг, а на более тяжелой x + d кг (d > 0). Тогда суммарный вес гирь равен x + (x + d) = 2x + d = 45. Из этого следует, что число d всегда нечетно и, в частности, не может быть равным 0; для нас, однако, важнее то, что оно не может быть равным 8. Предположим, что перевес одной из чашек оказался равным 9 кг или больше. Попробуем определить, куда была поставлена последняя гиря. На более тяжелую чашку последняя гиря поставлена быть не могла. Ведь если бы это была гиря массой 9 кг, то на предыдущем шаге весы были бы или в равновесии, чего быть не могло, либо эта чашка уже была более тяжелой на предыдущем шаге, и на нее по правилам нельзя было бы ставить гирю. Если же последняя гиря была легче 9 кг, то до ее установки на весы чашка, куда ее поставили, уже была бы более тяжелой, и ставить на нее гирю было бы уже нельзя. Таким образом, последняя гиря была поставлена на более легкую чашку. Но это означает, что на предыдущем шаге перевес более тяжелой чашки был также не меньше 9 кг, и по аналогичным соображениям вторая с конца гиря тоже была поставлена на более легкую чашку, и так далее. В итоге получается, что все гири ставились на одну и ту же чашку (которая в итоге оказалась более легкой), чего быть не могло. Поэтому и перевес одной из чашек не может оказаться больше 8 кг. В силу сделанного выше замечания он не может быть равен и 8 кг, поэтому максимально возможное его значение равно 7 кг. Теперь приведем пример последовательной расстановки гирь согласно условию, дающей в итоге перевес одной чашки на 7 кг (вы можете придумать и свои собственные примеры). Если общий вес гирь на одной из чашек весов (например, на более легкой), равен x кг, то общий вес гирь на второй чашке должен быть равен (x + 7) кг. Из условия x + (x + 7) = 45 найдем, что x = 19 кг. Например, гири весом 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг и 9 кг вместе весят как раз 19 кг. Осталось придумать способ последовательной расстановки гирь в соответствии с условием задачи, при котором эти пять гирь в конце концов оказались бы на одной чашке весов, а оставшиеся четыре - на другой. Соответствующий пример приведен в таблице ниже. Там последовательно перечислены наборы гирь, которые оказываются на каждой из чаш весов на очередном шаге. "Только что добавленная" гиря выделяется курсивом. Убедитесь, что на каждом шаге очередная гиря действительно ставится на более легкую чашку и что весы ни разу не оказались в равновесии. Ответ. На 7 кг.